Nehmen wir den ersten Auftrag IIR Filter an. Yn alpha xn 1 - alpha yn - 1.Wie kann ich den Parameter alpha st wählen, der IIR nähert sich so gut wie möglich die FIR, die das arithmetische Mittel der letzten k Samples ist. Wo n in k, infty, was bedeutet, dass die Eingabe für die IIR könnte länger sein als k und doch möchte ich die beste Annäherung an den Mittelwert der letzten K-Inputs haben. Ich weiß, dass die IIR unendliche Impulsantwort hat, daher suche ich die beste Näherung, die ich für die analytische Lösung glücklich bin, ob es Ist für oder. Wie konnten diese Optimierungsprobleme gelöst werden, da nur 1. Ordnung IIR. asked Oct 6 11 bei 13 15.Do muss es folgen yn alpha xn 1 - alpha yn - 1 genau Phonon Okt 6 11 bei 13 32. Dies ist möglich Ist verpflichtet, eine sehr schlechte Annäherung zu werden Können Sie sich etwas mehr als ein erster Ordnung IIR leftaroundabout Okt 6 11 bei 13 42.Sie möchten vielleicht Ihre Frage bearbeiten, so dass Sie don t verwenden yn, um zwei verschiedene Dinge bedeuten, zB die Die zweite angezeigte Gleichung könnte zn frac xn cdots frac x nk 1 lesen, und vielleicht möchten Sie sagen, was genau ist Ihr Kriterium von so gut wie möglich, zB wollen Sie vert yn - zn vert so klein wie möglich für alle n, oder Vert yn - zn vert 2 so klein wie möglich für alle n Dilip Sarwate Okt 6 11 um 13 45. niaren Ich weiß, das ist ein alter Pfosten, also wenn man sich erinnern kann, wie ist deine Funktion f abgeleitet, ich habe eine ähnliche Sache codiert Mit den komplexen Übertragungsfunktionen für FIR H1 und IIR H2 und dann Summe abs H1 - H2 2 Ich ve verglichen dies mit deiner Summe fj, aber bekomme verschiedene resultierende Ausgänge Dachte, ich würde fragen, bevor wir durch die Mathematik Dom Jun 7 13 um 13 47.OK, lass s versuchen, den besten Anfang zu erhalten yn alpha xn 1 - alpha yn - 1 alpha xn 1 - alpha alpha x n-1 1 - alpha 2 yn - 2 alpha xn 1 - alpha alpha x n-1 1 - alpha 2 alpha x n-2 1 - alpha 3 yn - 3 ende, so dass der Koeffizient von x nm alpha 1- alpha m ist. Der nächste Schritt ist, Ableitungen zu nehmen und gleich Null zu sein. Looking an einem Plot des abgeleiteten J für K 1000 Und Alpha von 0 bis 1, sieht es wie das Problem, wie ich es eingerichtet ist, ist schlecht gestellt, weil die beste Antwort ist alpha 0.Ich denke, da ist ein Fehler hier Die Art, wie es sollte nach meiner Berechnungen ist. Using die Der folgende Code auf MATLAB liefert etwas Äquivalentes, obwohl anders. Diese Funktionen haben minimal. So lassen wir annehmen, dass wir uns wirklich nur um die Annäherung über die Unterstützungslänge des FIR-Filters kümmern In diesem Fall ist das Optimierungsproblem nur J2 Alpha Summe Alpha 1- alpha m - frac 2.Plotting J2 alpha für verschiedene Werte von K gegen Alpha ergibt das Datum in den Plots und der Tabelle unten. Für K 8 alpha 0 1533333 Für K 16 alpha 0 08 Für K 24 alpha 0 0533333 Für K 32 alpha 0 04 Für K 40 alpha 0 0333333 Für K 48 alpha 0 0266667 Für K 56 alpha 0 0233333 Für K 64 alpha 0 02 Für K 72 alpha 0 0166667. Die roten gestrichelten Linien sind 1 K und die grünen Linien sind alpha, die Wert von Alpha, der J2 alpha aus tt alpha 0 01 1 minimiert. 3.Es gibt eine nette Diskussion dieses Problems in der eingebetteten Signalverarbeitung mit der Micro-Signal-Architektur etwa zwischen den Seiten 63 und 69 Auf Seite 63 enthält es eine Ableitung der exakten rekursiven Bewegung Durchschnittlicher Filter, den niaren in seiner Antwort gab. Für Bequemlichkeit in Bezug auf die folgende Diskussion, entspricht es der folgenden Differenzgleichung. Die Näherung, die den Filter in die von Ihnen angegebene Form setzt, setzt voraus, dass x ungefähr y, weil und ich zitiere von pg 68 y ist der Durchschnitt von xn-Samples Diese Annäherung erlaubt es uns, die vorangehende Differenzengleichung wie folgt zu vereinfachen. Wenn wir Alpha setzen, kommen wir zu deiner ursprünglichen Form, y alpha xn 1- alpha y, was zeigt, dass der Koeffizient, den du in Bezug auf diesen willst Näherung ist genau 1 über, wo N die Anzahl der Samples ist. Ist diese Annäherung das Beste in irgendeiner Hinsicht Es ist sicherlich elegant Hier s, wie die Größenreaktion bei 44 1kHz für N 3 vergleicht, und wenn N auf 10 Näherung in blau erhöht Peter s Antwort deutet darauf hin, dass ein FIR-Filter mit einem rekursiven Filter problematisch unter einer kleinsten Quadrate-Norm sein kann. Eine ausführliche Diskussion, wie man dieses Problem im Allgemeinen lösen kann, findet sich in der JOS-Arbeit, Techniken für Digital-Filter-Design und Systemidentifikation mit Anwendung Zur Violine befürwortet er die Verwendung der Hankel-Norm, aber in Fällen, in denen die Phasenreaktion nicht zutrifft, deckt er auch die Kopec-Methode ab, die in diesem Fall gut funktionieren könnte und eine L 2-Norm verwendet. Ein breiter Überblick über die Techniken in Die These kann hier gefunden werden Sie können andere interessante Annäherungen geben. Ein einfach zu bedienender Digitalfilter. Die exponentielle gleitenden Durchschnitt EMA ist eine Art von unendlichen Impulsantwort IIR-Filter, die in vielen eingebetteten DSP-Anwendungen verwendet werden kann Es erfordert nur eine kleine Menge an RAM und Rechenleistung. Was ist ein Filter. Filter kommen sowohl in analoge als auch in digitale Formen und existieren, um bestimmte Frequenzen aus einem Signal zu entfernen. Ein gemeinsamer analoger Filter ist der unten dargestellte Tiefpass-RC-Filter. Die Filter sind durch ihren Frequenzgang gekennzeichnet Das ist, wieviel die Frequenzen gedämpftes Größenverhalten und verschobene Phasenreaktion sind. Der Frequenzgang kann mit einer Laplace-Transformation analysiert werden, die eine Übertragungsfunktion in der S-Domäne definiert. Für die obige Schaltung ist die Übertragungsfunktion gegeben durch. Für R ist gleich eins Kilo-Ohm und C gleich einem Mikrofarad ist, ist die Größenreaktion unten gezeigt. Hinweis, dass die x-Achse logarithmisch ist jede Tickmarke 10-mal größer als die letzte Die y-Achse ist in Dezibel, die eine logarithmische Funktion des Ausgangs ist Die Cutoff-Frequenz für diesen Filter beträgt 1000 rad s oder 160 Hz. Hierbei wird weniger als die Hälfte der Leistung bei einer gegebenen Frequenz vom Eingang zum Ausgang des Filters übertragen. Analog-Filter müssen bei eingebetteten Designs bei der Abtastung verwendet werden Signal mit einem Analog-Digital-Wandler ADC Der ADC erfasst nur Frequenzen, die bis zur Hälfte der Abtastfrequenz sind. Wenn zum Beispiel der ADC 320 Abtastungen pro Sekunde erfaßt, wird der Filter oben mit einer Grenzfrequenz von 160 Hz zwischen dem Signal und dem ADC platziert Eingang, um ein Aliasing zu verhindern, das ein Phänomen ist, bei dem höhere Frequenzen im abgetasteten Signal als niedrigere Frequenzen auftreten. Digitale Filter. Digitalfilter dämpfen Frequenzen in der Software, anstatt analoge Komponenten zu verwenden. Ihre Implementierung umfasst das Abtasten der analogen Signale mit einem ADC und dem Anwenden eines Softwarealgorithmus Zwei gängige Designansätze für die digitale Filterung sind FIR-Filter und IIR-Filter. FIR-Filter. Finite Impulsantwort FIR-Filter verwenden eine endliche Anzahl von Samples, um die Ausgabe zu erzeugen Ein einfacher gleitender Durchschnitt ist ein Beispiel für einen Tiefpass-FIR-Filter Höhere Frequenzen werden abgeschwächt, weil Die Mittelung glättet das Signal Der Filter ist endlich, weil das Ausgangssignal des Filters durch eine endliche Anzahl von Eingangsabtastungen bestimmt wird. Beispielsweise addiert ein 12-Punkt-Gleitender Durchschnitt die 12 letzten Proben und teilt sich dann um 12 Die Ausgabe von IIR Filter werden bis zu einer unendlichen Anzahl von Eingabe-Samples bestimmt. IIR Filter. Infinite Impulsantwort IIR-Filter sind eine Art von Digital-Filter, wo die Ausgabe ist inifiniert in der Theorie sowieso durch einen Eingang beeinflusst Der exponentielle gleitende Durchschnitt ist ein Beispiel für einen Tiefpass IIR-Filter. Exponential Moving Average Filter. Eine exponentielle gleitenden Durchschnitt EMA wendet exponentielle Gewichte auf jede Probe, um einen Durchschnitt zu berechnen Obwohl dies scheint kompliziert, die Gleichung, die in der digitalen Filterung Parolanz als die Differenz Gleichung, um die Ausgabe zu berechnen ist einfach In der Gleichung Unten ist y die Ausgabe x ist die Eingabe und Alpha ist eine Konstante, die die Cutoff-Frequenz setzt. Um zu analysieren, wie sich dieser Filter auf die Frequenz des Outputs auswirkt, wird die Z-Domain-Übertragungsfunktion verwendet. Die Größenreaktion ist unten für alpha dargestellt Gleich 0 5. Die y-Achse ist wiederum in Dezibel dargestellt Die x-Achse ist logarithmisch von 0 001 bis pi Die realen Weltkartenzuordnungen zur x-Achse, wobei Null die Gleichspannung ist und pi gleich der Hälfte ist Abtastfrequenz Alle Frequenzen, die größer als die Hälfte der Abtastfrequenz sind, werden aliased Wie bereits erwähnt, kann ein analoger Filter sicherstellen, dass praktisch alle Frequenzen im Digitalsignal unterhalb der Abtastfrequenz liegen. Der EMA-Filter ist aus eingebetteten Designs aus zwei Gründen vorteilhaft, Es ist einfach, die Cutoff-Frequenz einzustellen. Die Verringerung des Wertes von alpha verringert die Cutoff-Frequenz des Filters, wie durch Vergleich des obigen Alpha-0-5-Plots mit dem darunter liegenden Diagramm verknüpft wird, wo alpha 0 ist. 1.Die EMA ist einfach zu kodieren und erfordert Nur eine kleine Menge an Rechenleistung und Speicher Die Code-Implementierung des Filters verwendet die Differenzgleichung Es gibt zwei Multiplikationsoperationen und eine Additionsoperation für jeden Ausgang, die die für die Rundung des Fixpunkt-Mathematiks erforderlichen Operationen ignoriert. Nur das aktuellste Sample muss gespeichert werden RAM Dies ist wesentlich geringer als die Verwendung eines einfachen gleitenden Durchschnittsfilters mit N Punkten, die N Multiplikations - und Additionsoperationen sowie N Samples benötigt, die im RAM gespeichert werden sollen. Der folgende Code implementiert das EMA-Filter unter Verwendung von 32-Bit-Fixpunkt-Mathematik Ist ein Beispiel für die Verwendung der oben genannten Funktion. Filter, sowohl analoge als auch digitale, sind ein wesentlicher Bestandteil der eingebetteten Designs Sie ermöglichen Entwicklern loszuwerden unerwünschte Frequenzen bei der Analyse von Sensoreingang Für digitale Filter nützlich sein, müssen analoge Filter alle entfernen Frequenzen über der Hälfte der Abtastfrequenz Digitale IIR-Filter können leistungsstarke Werkzeuge im eingebetteten Design sein, bei denen Ressourcen begrenzt sind Die exponentielle gleitende durchschnittliche EMA ist ein Beispiel für einen solchen Filter, der in eingebetteten Designs aufgrund des geringen Speicher - und Rechenleistungsbedarfs gut arbeitet , IIR-Filter und die lineare Konstant-Koeffizient-Differenz Gleichung. Causal Moving Average FIR Filters. Wir haben Systeme diskutiert, in denen jede Probe der Ausgabe ist eine gewichtete Summe von bestimmten der Proben der input. Let s nehmen eine kausal gewichtet Summe-System, wo Kausal bedeutet, dass eine gegebene Ausgabeprobe nur von der aktuellen Eingangsmuster - und anderen Eingaben früher in der Sequenz abhängt. Weder lineare Systeme im Allgemeinen noch endliche Impulsantwortsysteme müssen kausal sein. Allerdings ist die Kausalität für eine Art der Analyse, die wir bald erforschen werden. Wenn wir die Eingaben als Werte eines Vektors x und der Ausgänge als entsprechende Werte eines Vektors y symbolisieren, so kann ein solches System wie überall geschrieben werden, wo die b-Werte Gewichte sind Aktuelle und frühere Eingabe-Samples, um die aktuelle Ausgabe Probe zu erhalten Wir können an den Ausdruck als Gleichung denken, mit dem Gleichheitszeichen Bedeutung gleich ist, oder als prozedurale Anweisung, mit dem Gleichheitszeichen Bedeutung Zuweisung. Let s Schreiben Sie den Ausdruck für jede Ausgabe Probe Als MATLAB-Schleife von Zuweisungsanweisungen, wobei x ein N-Längenvektor von Eingangsabtastwerten ist und b ein M-Längenvektor von Gewichten ist. Um den Spezialfall am Anfang zu behandeln, werden wir x in einen längeren Vektor einbetten Xhat dessen erste M-1-Samples null sind. Wir schreiben die gewichtete Summation für jedes yn als ein inneres Produkt und werden einige Manipulationen der Eingaben wie das Umkehren von b zu diesem Ende durchführen. Diese Art von System wird oft als gleitender Durchschnitt bezeichnet Filter aus offensichtlichen Gründen. Aus unseren früheren Diskussionen sollte es offensichtlich sein, dass ein solches System linear und verschiebungsinvariant ist. Natürlich wäre es viel schneller, die MATLAB-Faltungsfunktion conv anstelle von unserem Mafilt zu verwenden. Anstatt das erste zu betrachten M-1-Samples der Eingabe, um Null zu sein, könnten wir sie als die gleichen wie die letzten M-1-Samples ansehen. Dies ist die gleiche wie die Behandlung der Eingabe als periodisch Wir verwenden cmafilt als den Namen der Funktion, eine kleine Änderung Der früheren Mafilt-Funktion Bei der Bestimmung der Impulsantwort eines Systems gibt es normalerweise keinen Unterschied zwischen diesen beiden, da alle nicht initialen Samples der Eingabe null sind. Da ein solches System linear und verschiebungsinvariant ist, wissen wir Dass seine Wirkung auf jede Sinusoid wird nur zu skalieren und verschieben Hier ist es wichtig, dass wir die kreisförmige Version verwenden. Die kreisförmig gefaltete Version wird verschoben und skaliert ein wenig, während die Version mit gewöhnlichen Faltung ist am Anfang verzerrt. Let s Sehen Sie, was die genaue Skalierung und Verschiebung ist, indem Sie eine fft. Both Eingang und Ausgang haben Amplitude nur bei Frequenzen 1 und -1, die so ist, wie es sein sollte, da die Eingabe war eine Sinuskurve und das System war linear Die Ausgangswerte sind Größer um ein Verhältnis von 10 6251 8 1 3281 Dies ist die Verstärkung des Systems. Was über die Phase Wir müssen nur sehen, wo die Amplitude ungleich Null ist. Der Eingang hat eine Phase von pi 2, wie wir die Ausgangsphase angefordert haben Wird um eine zusätzliche 1 0594 mit entgegengesetztem Vorzeichen für die negative Frequenz oder etwa 1 6 eines Zyklus nach rechts verschoben, wie wir auf dem Graphen sehen können. Jetzt lasst man eine Sinuskurve mit der gleichen Frequenz 1 versuchen, aber anstelle von Amplitude 1 und Phase pi 2, lass s versuchen Amplitude 1 5 und Phase 0.Wir wissen, dass nur Frequenz 1 und -1 haben keine Null-Amplitude, so lasst sie nur sehen sie. Again die Amplitude Verhältnis 15 9377 12 0000 ist 1 3281 - und für die phase. it wird wieder um 1 0594 verschoben. Wenn diese Beispiele typisch sind, können wir die Wirkung unserer Systemimpulsantwort 1 2 3 4 5 auf jede Sinuskurve mit der Frequenz 1 vorhersagen - die Amplitude wird sein Um einen Faktor von 1 3281 erhöht und die positive Frequenzphase um 1 0594 verschoben werden. Wir konnten die Wirkung dieses Systems auf Sinusoiden anderer Frequenzen durch dieselben Methoden berechnen. Aber es gibt einen viel einfacheren Weg und eine, die Stellt den allgemeinen Punkt dar. Da die zirkuläre Faltung im Zeitbereich eine Multiplikation im Frequenzbereich bedeutet, folgt daraus, daß die DFT der Impulsantwort das Verhältnis der DFT des Ausgangssignals zur DFT des Eingangs ist. In dieser Beziehung sind die DFT-Koeffizienten komplexe Zahlen Da abs c1 c2 abs c1 abs c2 für alle komplexen Zahlen c1, c2 ist, sagt diese Gleichung, dass das Amplitudenspektrum der Impulsantwort immer das Verhältnis des Amplitudenspektrums des Ausgangs ist Zu dem des Eingangssignals. Im Fall des Phasenspektrums gilt der Winkel c1 c2 Winkel c1 - Winkel c2 für alle c1, c2 mit der Maßgabe, dass Phasen, die sich um n 2 pi unterscheiden, als gleich betrachtet werden. Daher wird das Phasenspektrum der Impulsantwort immer Sei der Unterschied zwischen den Phasenspektren des Ausgangs und dem Eingang mit allen Korrekturen um 2 pi erforderlich, um das Ergebnis zwischen - pi und pi zu halten. Wir können die Phaseneffekte deutlicher sehen, wenn wir die Darstellung der Phase auspacken, dh wenn wir Fügen Sie verschiedene Multiples von 2 pi hinzu, um die Sprünge zu minimieren, die durch die periodische Natur der Winkelfunktion erzeugt werden. Obwohl die Amplitude und Phase gewöhnlich für grafische und sogar tabellarische Darstellung verwendet werden, da sie eine intuitive Art sind, über die Effekte nachzudenken Eines Systems auf den verschiedenen Frequenzkomponenten seiner Eingabe sind die komplexen Fourierkoeffizienten algebraisch nützlicher, da sie den einfachen Ausdruck der Beziehung erlauben. Der allgemeine Ansatz, den wir soeben gesehen haben, wird mit beliebigen Filtern des skizzierten Typs arbeiten Jeder Ausgabeprobe ist eine gewichtete Summe von einigen Satz von Eingangsabtastungen. Wie bereits erwähnt, werden diese oft als Finite Impulse Response Filter bezeichnet, da die Impulsantwort von endlicher Größe oder manchmal Moving Average Filter ist. Wir können die Frequenzgangcharakteristiken von bestimmen Ein solches Filter aus der FFT seiner Impulsantwort, und wir können auch neue Filter mit gewünschten Eigenschaften von IFFT aus einer Spezifikation des Frequenzganges entwerfen. Autoregressive IIR Filters. Es wäre wenig Punkt in Namen für FIR-Filter, es sei denn, es gab einige Andere, um sie zu unterscheiden, und so werden diejenigen, die Pragmatik studiert haben, nicht überrascht sein zu erfahren, dass es tatsächlich eine andere Art von linearem Zeit-invarianten Filter gibt. Diese Filter werden manchmal rekursiv genannt, weil der Wert der vorherigen Ausgänge sowie Vorherige Eingaben sind wichtig, obwohl die Algorithmen in der Regel mit iterativen Konstrukten geschrieben werden. Sie werden auch Infinite Impulse Response IIR Filter genannt, weil im Allgemeinen ihre Reaktion auf einen Impuls für immer weitergeht. Sie werden auch manchmal autoregressive Filter genannt, weil die Koeffizienten gedacht werden können als Das Ergebnis der linearen Regression, um Signalwerte als Funktion früherer Signalwerte auszudrücken. Die Beziehung von FIR - und IIR-Filtern ist deutlich in einer linearen Konstantkoeffizienten-Differenzengleichung zu sehen, wobei eine gewichtete Summe von Ausgängen gleich a ist Gewichtete Summe von Inputs Dies ist wie die Gleichung, die wir früher für den Kausal-FIR-Filter gegeben haben, außer dass wir zusätzlich zu der gewichteten Summe der Inputs auch eine gewichtete Summe an Outputs haben. Wenn wir das als ein Verfahren für denken wollen Erzeugen von Ausgangsabtastungen, müssen wir die Gleichung neu anordnen, um einen Ausdruck für die aktuelle Ausgangsabtastung y n zu erhalten. Wenn wir die Konvention, dass eine 1 1 zB durch Skalierung anderer als und bs, erhalten, können wir die 1 a 1 term. ynb 1 loswerden Xnb 2 x n-1 b Nb 1 x n-nb - a 2 y n-1 - - a Na 1 y n-na. Wenn alle anderen als a 1 null sind, reduziert dies auf unseren alten Freund die kausale FIR Filter. This ist der allgemeine Fall eines kausalen LTI-Filters und wird durch den MATLAB-Funktionsfilter implementiert. Siehe den Fall, in dem die b-Koeffizienten anders als b 1 anstelle des FIR-Falles null sind, wobei die a null sind. In diesem Fall wird der aktuelle Ausgangsabtastwert yn als eine gewichtete Kombination des aktuellen Eingangsabschnitts xn und der vorherigen Ausgangsabtastwerte y n-1, y n-2 usw. berechnet. Um eine Vorstellung davon zu erhalten, was mit solchen Filtern passiert, lass s Beginnen Sie mit dem Fall wo. That ist die aktuelle Ausgabe Probe ist die Summe der aktuellen Eingang Probe und die Hälfte der vorherigen Ausgabe Probe. Wir nehmen einen Eingangsimpuls durch ein paar Zeitschritte, eine zu einer Zeit. Es sollte klar sein bei Dieser Punkt, dass wir leicht schreiben können einen Ausdruck für die n-te Ausgabe Sample-Wert ist es nur. Wenn MATLAB von 0 gezählt wird, wäre dies einfach 5 n. Wenn wir berechnen, ist die Impulsantwort des Systems, haben wir beispielhaft gezeigt, dass die Impulsantwort tatsächlich unendlich viele Nicht-Null-Proben haben kann. Um diese triviale zuerst zu implementieren Filter in MATLAB filtern, können wir Filter verwenden Der Anruf wird so aussehen. und das Ergebnis ist. Ist dieses Geschäft wirklich immer noch linear. Wir können dies empirisch betrachten. Für ein allgemeiner Ansatz, betrachten Sie den Wert einer Ausgabe Probe y N. Bei aufeinanderfolgende Substitution können wir dies als schreiben schreiben. Dies ist genau wie unser alter Freund die Faltungs-Summenform eines FIR-Filters, wobei die Impulsantwort durch den Ausdruck 5 k und die Länge der Impulsantwort unendlich ist Argumente, die wir früher gezeigt haben, dass FIR-Filter linear waren, werden nun hier angewendet. So weit kann dies wie eine Menge Aufregung über nicht viel aussehen. Was ist diese ganze Zeile der Untersuchung gut für. Wir beantworten diese Frage in Stufen, beginnend mit einem Beispiel. Es ist nicht eine große Überraschung, dass wir eine abgetastete exponentielle durch rekursive Multiplikation berechnen können Schauen wir uns einen rekursiven Filter an, der etwas weniger offensichtlich macht Dieses Mal machen wir es einen Filter zweiter Ordnung, so dass der Aufruf zum Filtern sein wird Der Form. Stellen Sie den zweiten Ausgangskoeffizienten a2 auf -2 cos 2 pi 40 und den dritten Ausgangskoeffizienten a3 auf 1 und schauen Sie sich die Impulsantwort an. Nicht sehr nützlich als Filter, eigentlich, aber es erzeugt ein Abgetastete Sinuswelle aus einem Impuls mit drei Multiplikations-Adds pro Probe Um zu verstehen, wie und warum es das tut und wie rekursive Filter im allgemeineren Fall entworfen und analysiert werden können, müssen wir zurücktreten und uns anschauen Andere Eigenschaften von komplexen Zahlen, auf dem Weg zum Verständnis der Z-Transformation.
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